静電誘導と導電率ーつづき - 静電気イノベーションズ

前（2022年12月12日）に静電誘導と導電率の関係，つまり，電荷緩和時間に応じて誘導電荷が現れることを示した．このとき，静電誘導が現れる物体は接地しているとした．ここでは，この物体が絶縁されているとして計算する．

物体が絶縁されている場合

図3aに示すような一次元モデルで考える．これの等価回路は3bのようになる．電圧 $V$ から距離 $d_1$ 離れた位置に，厚さ $d_2$ の物体がある．この物体の誘電率は $\varepsilon$ ，抵抗率は $\rho$ とする．物体は接地から距離 $d_3$ 離れて絶縁されている．この物体の初期表面電荷は0であり，帯電されていないとする．このとき，物体と空気の界面での表面電荷密度 $\sigma_{f12}$ および $\sigma_{f23}$ を求める．ただし，

(8) $\begin{equation} \label{eq:surfaceCharge} \sigma_{f12} = -\sigma_{f23} \end{equation}$

の関係が成り立つ．それぞれの界面での電荷保存式から，つまり，等価回路からも

(9) $\varepsilon_0 \frac{d E_1}{dt} = \frac{E_2}{\rho} + \varepsilon \frac{d E_2}{dt} = \varepsilon_0 \frac{d E_3}{dt}$

となる．電圧 $V$ は

(10) $V = E_1 d_1 + E_2 d_2 + E_3 d_3$
式(10)の時間微分で， $t \gt 0$ で $\frac{dV}{dt} = 0$ ，式(9)の $\frac{d E_3}{dt}=\frac{d E_1}{dt}$ より，

(11) $\frac{dE_1}{dt} = -\frac{d_2}{d_1 + d_3}\frac{dE_2}{dt}$
を得る．これを式(9)に代入して

(12) $\frac{d E_2}{dt} + \frac{E_2}{\tau} = 0$

を得る．ただし，

(13) $\tau = \rho \left(\varepsilon + \varepsilon_0 \frac{d_2}{d_1 + d_3}\right) = \rho \varepsilon_0 \left(\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0} + \frac{d_2}{d_1 + d_3}\right) = \rho \varepsilon_0 \left(\varepsilon_r + \frac{d_2}{d_1 + d_3}\right)$

である． $t=0$ で物体の上下とも表面電荷密は0であるから

(14) $\varepsilon_0 E_1|_{t=0} = \varepsilon E_2|_{t=0} = \varepsilon_0 E_3|_{t=0} \Rightarrow E_1|_{t=0} = E_3|_{t=0} = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}E_2|_{t=0}$

これを式(10)に代入して， $E_2$ の初期値は

(15) $E_2|_{t=0} = \frac{V}{d_2 + \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}(d_1 + d_3)} = \frac{\frac{V}{d_1 +d_3}}{\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0} + \frac{d_2}{d_1 + d_3}}$

したがって

(16) $E_2 = \frac{\frac{V}{d_1 +d_3}}{\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0} + \frac{d_2}{d_1 + d_3}}e^{-t/\tau}$

また， $E_1$ および $E_3$ の初期値は

(17) $E_1|_{t=0} = E_3|_{t=0} = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0} E_2|_{t=0} = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0} \frac{\frac{V}{d_1 +d_3}}{\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0} + \frac{d_2}{d_1 + d_3}}$

ここで， $E_1$ と $E_3$ は初期値が等しく，時間微分も等しいので，

(18) $E_1 =E_3$

である．これは，式(8)の表面電荷密度の関係からも明らかである．式(11)から

(19) $E_1 = -\frac{d_2}{d_1 + d_3} E_2 + A$

とおいて，式(16)と式(17)から

(20) $\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0} \frac{\frac{V}{d_1 +d_3}}{\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0} + \frac{d_2}{d_1 + d_3}}= -\frac{d_2}{d_1 + d_3} \frac{¥frac{V}{d_1 +d_3}}{\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0} + \frac{d_2}{d_1 + d_3}}+ A \Rightarrow A= \frac{V}{d_1 +d_3}$

したがって，

(21) $E_1 =E_3 = -\frac{d_2}{d_1 + d_3} \frac{\frac{V}{d_1 +d_3}}{\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0} + \frac{d_2}{d_1 + d_3}}e^{-t/\tau} + \frac{V}{d_1 +d_3}$

よって，求める表面電荷密度は

(22) $\sigma_{f12} = -\sigma_{f23} = -\varepsilon_0 E_1 + \varepsilon E_2=\frac{\frac{V}{d_1 +d_3}}{\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0} + \frac{d_2}{d_1 + d_3}}e^{-t/\tau} \left(\varepsilon_0 \frac{d_2}{d_1 + d_3} + \varepsilon \right) - \varepsilon_0 \frac{V}{d_1 + d_3}$