静電誘導と抵抗率 - 静電気イノベーションズ

静電誘導は導体に関わる静電気現象である．導体の自由電荷（固体導体だと自由電子）が外部電界のよって表面（理想的な導体は導体内部の電界は0）で移動し，結果として表面で鉛直方向の電界のみが現れ，表面で同電位にする表面電荷分布となっている．つまり，静電誘導は自由電荷の移動現象によるので，要する時間は電荷緩和時間，つまり，誘電率および抵抗率（導電率）に依存する．静電誘導の抵抗率（導電率）との関係を理論的に示す．まずは，簡単に一次元モデルで考えてみる．

一次元モデル

図1aに示すような一次元モデルで考える．これの等価回路は図1bのようになる．電圧 $V$ から距離 $d_1$ 離れた位置に，厚さ $d_2$ の物体がある．この物体の誘電率は $\varepsilon$ ，抵抗率は $\rho$ とする．物体の反対側は接地されている**．このとき，物体と空気の界面での表面電荷密度 $\sigma_f$ を求める．この界面での電荷保存式から
(1) $\begin{equation} \nabla \cdot \mathbf{J} + \frac{d\sigma_f}{d t} = 0 \Rightarrow \frac{E_2}{\rho} +\frac{d}{d t} \varepsilon E_2 -\frac{d}{d t} \varepsilon_0 E_1 = 0 \end{equation}$

電圧 $V$ は

(2) $V = E_1 d_1 + E_2 d_2 \Rightarrow E_1 = \frac{V-E_2 d_2}{d_1}$

式(1), (2)より，また， $t \gt 0$ で $\frac{dV}{dt}=0$ であるので，

(3) $\frac{d E_2}{dt} + \frac{E_2}{\tau} = 0$

ただし，

(4) $\tau = \rho \left(\varepsilon + \varepsilon_0 \frac{d_2}{d_1}\right) = \rho \varepsilon_0 \left(\varepsilon_r + \frac{d_2}{d_1}\right)$

ここで， $\varepsilon_r$ は比誘電率である． $t=0$ で $\varepsilon_0 E_1 = \varepsilon E_2$ であるので，式(2)より， $E_2|_{t=0} = \frac{\varepsilon_0 V}{\varepsilon d_1 + \varepsilon_0 d_2}$ ， $t=\infty$ で $E_2|_{t=\infty} =0$ なので，

(5) $E_2 = \frac{\varepsilon_0 V}{\varepsilon d_1 + \varepsilon_0 d_2} e^{-t/\tau}$

これを式(2)に代入して

(6) $E_1 = \frac{V}{d_1} - \frac{\varepsilon_0 d_2 V}{d_1 (\varepsilon d_1 + \varepsilon_0 d_2)} e^{-t/\tau}$

したがって，求める表面電荷密度，すなわち，誘導電荷密度は

(7) $\sigma_f = \varepsilon E_2 - \varepsilon_0 E_1 = -\varepsilon_0 \frac{V}{d_1} (1 - e^{-t/\tau})$

導体と同じ（99%）静電誘導電荷となるためには， $5 \tau$ の時間がかかる．抵抗率10¹⁰Ω mを越えると，この時間は，数秒以上かかることになる．図2に抵抗率 $\rho$ と誘導電荷が現れるまでの時間 $5\tau \approx 10 \rho \varepsilon_0~(\frac{d_2}{d_1}\approx 0,~\varepsilon_r =2)$ の関係を示す．このことは， $5 \tau$ 以内の時間にこの物体を動かすことがあれば，導体と同様な静電誘導は起きないことを示している．つまり，そんなときは火花放電は起きないということだ．

**計算を簡単にするために接地とした．絶縁する場合は下側と接地の間に空気層を挿入するモデルにする．